<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Dave,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">you write:</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><span style="color:rgb(0,0,0);font-size:13.44px"><font face="monospace"><i>The third discussion is of the "Rarity of the Commonplace" — how the mundane reality about us is so improbable. Part of this discussion deals with causality (another frequent FRIAM topic, but not so much recently), part with the fact that only 4% of the Universe is ordinary matter, and part that is corollary to the discussion of infinities. Part of the latter: a Real Line is made up of the rational and the irrational numbers, both of which are infinite in number. The rationals are infinitely dense and so take up zero percent of the Real Line.  Again, mathematicians, a bear of little brain asks for an explanation.</i></font></span><br><br><font face="verdana, sans-serif">What it means to say that the rationals are infinitely dense on the real line,</font><br>is say<font face="verdana, sans-serif"> that in any neighborhood of a point on the line you will find infinitely</font><br><font face="verdana, sans-serif">many rationals. Despite their</font><font face="verdana, sans-serif"> fecundity, there are still infinitely more</font><br><font face="verdana, sans-serif">non-rationals on the line (by Cantor's argument). Still, by Diophantine</font><br><font face="verdana, sans-serif">Approximation we can formally talk about how well we can approximate any</font><br><font face="verdana, sans-serif">real number with a rational. There is a killer book by Ivan Niven on the</font><br><font face="verdana, sans-serif">subject. For the record, when you ask for a random number between</font><br></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="verdana, sans-serif">zero and one and another gives you back a number you can imagine,</font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="verdana, sans-serif">you can reasonably assume that other is biased :)</font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="verdana, sans-serif"><br></font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="verdana, sans-serif">Jon</font></div></div>