<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Steve,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">you write:</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><span style="color:rgb(0,0,0);font-size:13.44px"><font face="monospace"><i>I might instead say that the source domain of the metaphorical description of &quot;bent&quot; or &quot;curved&quot; space IS the formal mathematical construction of &quot;a manifold&quot;? </i></font></span><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><span style="color:rgb(0,0,0);font-family:Verdana,Geneva,Helvetica,Arial,sans-serif;font-size:13.44px"><br></span></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">What about Eddington&#39;s measurement or gravitational lensing? These both</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">appear situated in a phenomenological domain, and so we seem to have</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">another candidate domain for talking meaningfully about <i>bent</i> or <i>curved</i> space.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">My preference is to grant that the metaphor maker has a domain in mind,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">but one that I will only come to understand through investigation\u2020. It is</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">perfectly acceptable to me that the metaphor maker intends a domain which</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">includes, but is not limited to, both phenomenological and mathematically</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">formal domains (say). Still, I suspect I am missing something important in</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">your emphasis on <i>apprehension.</i> Can you say a bit more about what you mean?</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">you write:</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><span style="color:rgb(0,0,0);font-size:13.44px"><font face="monospace"><i>Which I think is analogous or at least similar to Guerin&#39;s &quot;least action paths&quot;?</i></font></span><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Yeah, I suspect so too. MacLane&#39;s book intentionally focuses on developing</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Lagrangian and Hamiltonian mechanics. Mechanics, as far as I am concerned,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">is the prototypical home for these ideas.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">You write:</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><span style="color:rgb(0,0,0);font-size:13.44px"><font face="monospace"><i>feels a bit more to me like an &quot;algebra of cliche&#39;s&quot;?</i></font></span><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Thanks for that. Upon further reflection, I completely agree with you.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Jon</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br>\u2020) At the unintended risk of moving the conversation into the <i>meta</i>\u2020\u2020,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">I am including a link here to a page <a href="https://ncatlab.org/nlab/show/motivation+for+sheaves%2C+cohomology+and+higher+stacks#TheBasicIdeaOfSheaves">motivating the development of sheaves</a>.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">In section 2 the author invents a game where he thinks up a space and the</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">player can query the author about how other spaces map into it.<br><br>\u2020\u2020 <i>Meta</i> in that sheaves themselves offer a more flexible paradigm for</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">reasoning about generalized spaces than we get from manifold theory.</div></div>