<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Dave,<br><br>Sorry-not-sorry to bring up Penrose again. One of my favorite</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">mathematical facts is that generalized Penrose tilings can be seen</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">as a consequence of <a href="https://arxiv.org/pdf/math-ph/0606028.pdf">projecting a 5-dimensional lattice</a> into the</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">plane, where this lattice can be imagined as a tiling of hyper-cubes.<br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">I am not sure this is helpful, but it is pretty cool. More to your goals:</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">two) I suspect not, but tell me more. Can you constrain the question?</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">three) Perhaps showing my age, less than 8 years ago I had to prove</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">for Dr. Starbird's class the theorem that there are only 5 regular</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Platonic solids. What was interesting about the proof is that no</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">more than graph theory and algebra is needed. To some extent,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">it is what is beautiful about these really early theorems.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Jon</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">ps. I prefer Gmail for editing together a post.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div></div>