<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">I was hoping you would sketch out more of your objection<br>to my claim that the Alexander horned sphere provides an<br>example of a fractal space whose topology is given simply<br>as a sphere. In speech, I can feel pressured to make the<br>best of the few words I have room to express and sometimes<br>at the expense of accuracy. Analysis of the Alexander horned<br>sphere (and the space it encloses) is a bit more nuanced<br>than I let on, the details of which may be helpful for our<br>discussion of clouds. OTOH, Friam discussions are sometimes<br>nothing short of a bombastic free-for-all where injecting<br>aporia or the occasional first order footnote is about<br><i>as good as one can hope for</i>. If it turns out to help our<br>discussion here, I will dust off my copy of <i>Hocking & Young</i>.<br><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Yes, a discussion of limit points would be necessary for<br>investigating the topology of this pathological object.<br>Analysis of its interior and exterior yield very different<br>results, while the ball is simply connected its boundary<br>is not. Somehow, this off-the-top-of-my-head example<br>seemed to be relevant enough to Nick's itch that I hoped<br>it would slow things down.<br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Nick, Steve, Frank, et al.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Before we dive into Mandelbrot thumping, or some other</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">obnoxious witch hunt of popular mathematics, what exactly</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">is our goal? I don't mind beginning with Nick's definition of</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">a cloud, but only if that means we work to prove what is</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">and what is not an entailing theorem. Further, I will hope</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">that we <i>do not</i> confuse these theorems for truths about</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">our material world. I maintain that any definition we start</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">with will have <i>some</i> domain of applicability, but we are</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">far too along in our understanding of rhetoric (as a culture)</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">to waste time building strawmen. Granted this, if Nick wants</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">to use <i>shrouds</i> as a way of talking about <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral">Darboux sums</a></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">converging to Riemann Integrals, say, well fine. I am not</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">entirely sure there is any particular reason we need to</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">dive into an analytic hole, but hey. Nick, if there is a</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">question underlying all of this demand for technology,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">please state it. EricC, however, helped me to feel justified</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">in claiming that asking <i>what is a cloud, really</i> is not a</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">productive question.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Jon</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div></div>