<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Tom,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">Reflecting a bit more, there are other places in</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">mathematics where similar ideas arise. Consider</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">a series like:</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="monospace">1 + 1/2 + 1/4 <a class="gmail_plusreply" id="plusReplyChip-4" style="">+</a> 1/8 + ...</font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><br></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">mathematicians will often wish to treat these infinite sums</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">as if they were lists. One thing to do with a list is to <i>pop</i></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">the head from the list and return just the tail. Multiplying the</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">list by <font face="monospace">1/2 </font><font face="arial, sans-serif">does exactly this</font><span style="font-family:monospace">:</span></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="monospace"><br></font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="monospace">1/2 (1 + 1/2 + 1/4 <a class="gmail_plusreply" id="gmail-plusReplyChip-4">+</a> 1/8 + ...)<br></font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="monospace">1/2 + 1/4 <a class="gmail_plusreply" id="gmail-plusReplyChip-4">+</a> 1/8 + ...</font><br></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="monospace"><br></font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="arial, sans-serif">Now I have <i>just</i> the same list but without the head.</font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><font face="monospace"><br></font></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">Manipulations like this one are more-or-less part of the<br></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">machinery for working with a series. Another classic</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">example are the pair of functions <i>div</i> and <i>mod.</i> The first</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">of these acts like division but only gives back the integer</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">part (quotient), thus <font face="monospace">div 4 25</font> is 6. <i>mod</i> on the other</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">hand is a function which returns the remainder, 1 here.</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">Now given a number like 273427893045 in base 10,</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">we can use <i>mod 10</i> to pop the 5 off the end of the</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">number as-if-it-were a list and div 10 to return the</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">rest of the number as-if-it-were a list. Examples like</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">these are ubiquitous in mathematics and are in part</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">what makes the whole project seem like black magic</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">or index twiddling. Really, they are perhaps just conveniences</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">that arise via analogies between one domain of mathematics</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">and another. The Iverson bracket is similarly one such device,</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">connecting logic (Bool) to number (Int).</div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)"><br></div><div class="gmail_default" style="font-size:small;color:rgb(51,51,51)">Jon</div></div>