<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">As I reflect, search, and read more on Markov processes I feel a need<br>to refine my earlier statements. The temptation is to short-circuit the<br><i>history doesn't matter</i> quality of a Markov process[⚥]. Clearly, this<br>has it's own difficulties and misses Glen's <i>intent</i>, he is explicitly<br>desiring a non-Markovian model. It seems to me that being non-Markov<br>is baked into the underlying logic and manifests in concepts like<br>observability, uncertainty, etc...<br><br>To my mind, there is a possible correspondence between compressibility<br>as found in Chaitin-Kolmogorov complexity and the property of being<br>Markov. We determine the degree of randomness in a process by measuring<br>the distance a process is from being Markov (χ²). We determine the<br>degree of randomness in a sequence by measuring the distance a sequence<br>is from random (compressibility). In both cases, we rely on a notion of<br>observability, but perhaps in different ways.<br><br>For instance, in computational theory, recognition of a language by a<br>machine offers a means of computing statements in the language. Machines<br>are ordered by their capacity, and eventually, even Turing machines are<br>limited to what they <i>can know</i>. In the section of Gisin's paper entitled</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">"<i>Non-deterministic Classical Physics</i>", Gisin relies on a result from</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">symbolic dynamics that I am continuing to work through. Effectively,</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">the result can be summarized as saying that limited observability of</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">chaotic dynamics <i>entails</i> randomness[‡].<br><br>I feel a need to be cautious when asked whether a river delta is Markov.<br>I believe that it is worth arguing that the river delta itself is possibly</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">inaccessible and to decide whether it is Markov, we first need to fix a</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">model. If we bake determinism into the model, we will get determinism</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">from the model. On the other hand, we know that modeling systems of</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">incomplete information can be strikingly useful. By analogy, while the</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">gambler's ruin may have a positive <i>expectation</i>, the gambler may have</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">a finite budget.</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333"><br>So, back to the case of our river delta. If we want a non-Markov river<br>delta model, we can look to ways of limiting what can be known. There<br>can be limited knowledge in space, time, or process (say). For the<br>purpose of fleshing out these constraints, consider an analogy to Conway's<br>game. The whole river (the board-state) may be reasonably modeled such<br>that the n+1th state is determined by the nth state. Because a river<br>delta participates in <i>distributary formation</i> the underlying state space<br>is compelled to evolve. This evolution of the delta will depend on some<br>knowledge of the state of the ocean. Extending the model to include the<br>ocean may very well require revisiting the objective meaning of river<br>delta (relaxing spatial constraint).<br><br>Even while board-state is Markov, understanding the evolution of a given<br>neighborhood with imperfect information may not be Markov (Observing<br>the Mississipi river from Vicksburg, say). Determination of the future<br>state of this stretch of river will depend not only on history but on the<br>state of the flow/channel further upstream. In Conway's game, we may</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">wonder about the appearance of a <i>glider</i> within a specific region. Without</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">knowledge of adjacent neighborhoods and because of the non-uniqueness<br>of glider formation, we may see our glider at time k but know nothing<br>about future states of our neighborhood (time and space matter).<br><br>Lastly, and likely most obviously/controversially, when we go to<br>summarize our river delta we make a choice of model. Perhaps our river<br>delta is not obeying Conway's rules for all time. Perhaps it is a very<br>nice approximation for now, but will be horribly divergent in the long<br>run. Worst will be if the process giving rise to our river delta belongs<br>to the class of <i>non-computables</i>.<br><br>[⚥]van Kampen says: "But suppose the walker has a tendency to persist<br>in his direction: probability p to step in the same direction, and q to<br>return. Then X_t is no longer Markovian since the probability of X_t<br>depends not just on x_t1 but also on x_t2. This may be remedied by<br>introducing the two-component variable {X_t, X_t-1}. This joint variable<br>is again Markovian, with transition probability..."<br>- <a href="http://www.sbfisica.org.br/bjp/files/v28_90.pdf">Remarks on Non-Markov Processes</a><br><br>[‡] The clearest source I have for this at present is article 5, section 3</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">of Conceptual Mathematics by Lawvere and Schanuel. If anyone on the</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">list has further expertise or reference for this concept, your input will be appreciated.<br></div></div>