<div dir="auto">Jon,<div dir="auto"><br></div><div dir="auto">I'll think about that more.  An initial reaction is that I'm surprised that you call monoids, rings, etc "higher structures".  They have less structure than a vector space, don't they?  Is it because they're more general?</div><div dir="auto"><br></div><div dir="auto">Frank<br><br><div data-smartmail="gmail_signature" dir="auto">---<br>Frank C. Wimberly<br>140 Calle Ojo Feliz, <br>Santa Fe, NM 87505<br><br>505 670-9918<br>Santa Fe, NM</div></div></div><br><div class="gmail_quote"><div dir="ltr" class="gmail_attr">On Sun, Jul 26, 2020, 10:09 PM Jon Zingale <<a href="mailto:jonzingale@gmail.com">jonzingale@gmail.com</a>> wrote:<br></div><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">At first glance, the commonality is one of contingency. <i>Vector spaces</i><br>are contingent on underlying <i>fields</i> like <i>evolutionary functions</i> are<br>contingent on <i>underlying goals</i>. Before jumping to the conclusion that I<br>believe that evolutionary functions <i>are</i> vector spaces, let me mention<br>that in place of vector spaces I could have said monoid, algebra, module,<br>or an entire host of other higher-order structures. What is important<br>here is not the particular category, but the way that these higher-order<br>structures are <i>freely</i> constructed and the way that they relate to their<br>associated underlying structures[⁛].<br><br>While some mathematicians will argue that these structures <i>apriori</i> exist,<br>one can just as easily interpret the goal of such a construction to be<br>the design of new structures. In a sense, a vector space is designed for<br>the needs of a mathematician and founded upon the existence of a field.<br><br>Consider the field of integers modulo 5, here named 𝔽5. This object can<br>be thought of as a machine that can take an expression (3x7 + 2/3),<br>give an interpretation (3⊗2 ⊕ 2⊗2), and evaluate the expression<br>(3⊗2 ⊕ 2⊗4 ≡ 4) relative to the interpretation. Now 𝔽5, is an <i>algebraic</i><br>object and so doesn't really have a notion of distance much less richer<br><i>geometric</i> notions like origin or dimension[ℽ]. This object can do little<br>more than act as a calculator that consumes expressions and returns values.<br>However, through the magic of a <i>free</i> construction, we can consider the<br>elements {0,1,2,3,4} of 𝔽5 as tokenized values, free from their context<br>to one another. Where previously they could be compared to one another:<br>added, multiplied, etc... now they are simply <i>names</i>, <i>independent</i> and<br><i>incomparable</i> to one another. For clarity here, I will write them<br>differently as {⓪,⓵,⓶,⓷,⓸} to distinguish them from the non-tokenized<br>field values. "What does this buy us", you may ask? Now, when we consider<br>mixed expressions like 5*⓵ + 7*⓶ + 12*⓷ + 2*⓶, we can agree to sort<br>like things (5*⓵ + 9*⓶ + 12*⓷) and otherwise let this expression remain<br><i>irreducible</i>. The <i>irreducibility</i> here buys us a notion of dimension[↑],<br>and we quickly find that many of the nice properties we would like of a<br>space are suddenly available to us. Crucially, these properties were no-<br>where to be found in the original underlying field. This is to say, that<br>these properties arise as a kind of <i>epiphenomena</i> wrt the underlying field.<br><br>The properties now granted to us via the <i>inclusion of tokenized values</i><br><i>as generators</i> is one half of the story. Dual to the inclusion is another<br>structural map named evaluation. This map, like a gen-phen map, <i>founds</i><br>all of the higher-order operations by giving them a direct interpretation<br>below in the underlying field. Taken together, the inclusion map and the<br>evaluation map do a bit more. They assure a surprising correspondence<br>between the number of ways one can linearly transform spaces and the<br>number of ways one can map tokenized values into another. This fact is<br>often stated as "a linear transformation is determined by its action on<br>a basis".<br><br>Structures arising from constructions like the one above are ubiquitous<br>in mathematics and demonstrate a way that epiphenomena (vector, inner-<br>product, tensor, distance, origin, dimension, theorems about basis) can</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">arise from the design of higher-order structures while relating to the lower</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">-order structures they are founded upon. My hope is that drawing this</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">analogy will be found useful and produce a spark for those that know</div><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">evolutionary theory better than I[†].<br><br>Jon<br><br>[⁛] See the description of the free vector space construction from the<br>introduction to chapter 4 of 'Categories for the Working Mathematician'.<br><br>[ℽ] Some here probably wish to exclaim, "but wait, I can define a metric<br>on 𝔽5!" I wish to deflect this by asserting that the idea of a metric is<br>a geometric notion and that philosophically it may be cleaner to consider<br>the metric as being defined not on 𝔽5, but on 𝔽5 <i>construed</i> as a space,<br>Met(𝔽5) say.<br><br>[↑] The tokens ⓵, ⓶, and ⓷ in the expression above play the role of<br>independent vectors. An expression like 4*⓶ + 2*⓷ can now be interpreted<br>as moving 4 steps in the ⓶ direction, followed by moving 2 steps in the<br>⓷ direction.<br><br>[†] Just about everyone.<br></div></div>
- .... . -..-. . -. -.. -..-. .. ... -..-. .... . .-. .<br>
FRIAM Applied Complexity Group listserv<br>
Zoom Fridays 9:30a-12p Mtn GMT-6  <a href="http://bit.ly/virtualfriam" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">bit.ly/virtualfriam</a><br>
un/subscribe <a href="http://redfish.com/mailman/listinfo/friam_redfish.com" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://redfish.com/mailman/listinfo/friam_redfish.com</a><br>
archives: <a href="http://friam.471366.n2.nabble.com/" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://friam.471366.n2.nabble.com/</a><br>
FRIAM-COMIC <a href="http://friam-comic.blogspot.com/" rel="noreferrer noreferrer" target="_blank">http://friam-comic.blogspot.com/</a> <br>
</blockquote></div>