Mmm, long division is an interesting one. Who am I to say how things must be proved, but the proofs of the division algorithm with which I am familiar involve the well-ordering principle. There, in this one idea, lies two problematic details:<p>

1. The non-algebraic nature of the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle" target="_top" rel="nofollow" link="external">well-ordering principle</a>, and its correlative <a href"https://e.math.cornell.edu/people/mann/classes/chicago/Well-ordering.pdf" target="_top" rel="nofollow" link="external">controversies</a>. As outlined in the paper, "It has been shown that if you want to believe
the well-ordering theorem, then it must be taken as an axiom."<p>
 
2. The first significant moment where intension in the form of computational complexity enters an otherwise extensional number theory.

        
        
        
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