<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">EricS,<br><br>I am sorry to say that with the disruption of the nabble Friam server, and<br>with my head buried in work, I managed to miss your response to my queries about<br>your approach to Fisher's Theorem. Thankfully, RogerF brought your response to<br>my attention. In the last few months since we engaged this thread, I have steeped<br>myself in some of the hypergraph literature[⍼]. What follows is an attempt to<br>state what I think I understand and to see how closely it comes to your own<br>understanding.<br><br>My question (at the time) regarding whether hypergraphs make up a topology was<br>in part my wondering whether we get an algebra from hypergraph parts, which it<br>seems is how cospan algebras enter the picture. The Wolfram podcast you sent,<br>and to which I am presently listening, is giving me insight into how and why<br>hypergraphs came to be considered by those interested in generative physics.<br>His metaphysical starting point: that space is <i>material</i>, that it has a kind<br>of local <i>logic of connectivity</i>, and that in the Kelvin and Tait tradition we can<br>interpret all that we see as a manifestation of self-interaction in the ether<br>that we call space. This monadic/monist description is quite general and so it<br>is becoming a <i>Pauling point</i> in many complexity-oriented theories. A brief<br>survey includes Petri nets, object recognition, protein interactions, open Markov<br>networks, chemical reactions, GUI design, automata theory, and anywhere that one<br>can imagine Conway's madman sitting at an infinitely sprawling synthesizer patch<br>bay.<br><br>One striking feature of these models is that whether or not anything in the<br>universe actually happens <i>simultaneously</i>, we can witness that some of the<br>details at one timescale are found to be indistinguishable at another. This<br>suggests that it can be useful to write an algebra of <i>boxed</i> interactions,<br>where we may know nothing about the implementation except for which nodes<br>to use as inputs and which to use as outputs (though possibly stronger types).<br>At an extreme, as with the operad formalization, one can simply specify ports.<br><br>What seems to make the hypergraph formalization so useful is that we <i>now</i> have<br>semantics for these things, whether decorated or structured cospans. In effect,<br>this means that we get functors that not only <i>name</i> ports through the typical<br>unit adjunction (giving rise to all the familiar play of adjoint relationships<br>and the tracing of natural equivalences), but also whose domains can be dynamical.<br>This is especially wonderful if you want the names for things and the things you<br>name to be made of the same stuff and without concern for whether or not things<br>are simply points "way down there" somewhere.<br><br>This week, through work, I met a woman whose recent work concerns long-timescale<br>dynamics (was it milliseconds?). She studies protein self-interactions at various<br>stages of denaturing. I left the conversation with the sense that behavioral<br>classification of proteins is important and that being able to identify some small<br>"generative germ" of probable interactions is key. It seems to me that this is<br>another place where it might be interesting to investigate via a hypergraph<br>approach. There, we see that the <i>names</i> are effectively the internal dynamics of<br>these core interactions, that <i>composability</i> of interactions corresponds to an<br>algebra of names, and that all of the above can be situated harmoniously enough<br>in a computational context.<br><br>So far, what is written above is about as much as I understand. Thank you for<br>the Springer link. Unfortunately, the pay-wall around that work is too rich for<br>my blood. I would love it if someone with access can gift me a copy off-list.<br><br>Cheers,<br>Jon<br><br>[⍼] For interested lurkers, I have compiled a list of papers that I found<br>helpful in getting up to speed with hypergraphs:<br><br><a href="https://arxiv.org/pdf/1911.04630.pdf">https://arxiv.org/pdf/1911.04630.pdf</a><br><a href="https://arxiv.org/pdf/1704.02051.pdf">https://arxiv.org/pdf/1704.02051.pdf</a><br><a href="https://arxiv.org/pdf/1812.03601.pdf">https://arxiv.org/pdf/1812.03601.pdf</a><br><a href="https://arxiv.org/pdf/1806.08304.pdf">https://arxiv.org/pdf/1806.08304.pdf</a><br><br>Embarrassingly, I simply needed to read a little further in Spivak and Fong ;)<br></div></div>