<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">"""<br>I was asking what categories, eg monads, comonads, all these abstractions<br>on the abstractions of mathematics, want, since that might help me<br>understand how they see their purpose...<br>"""<br><br>I am unsure how to approach such a question. What I can respond to, wrt<br>categories (mathematics), is the question of what is the content of a<br>category. What follows I suspect you know full well, but maybe I will<br>accidentally type something surprising. Categories consist of *objects*<br>and most importantly *morphisms*. I emphasize morphisms because, unlike<br>arbitrary functions, they are constrained to equationally preserve<br>properties of and between the objects. For instance, morphisms in a<br>category of groups, homomorphisms, are constrained to relate symmetry in<br>one object to symmetry in another. In a topological category, the<br>morphisms (homeomorphisms) are constrained to relate continuity in one<br>topological space to continuity in another. Fields like algebraic topology<br>arose by posing questions like, "How is this chain of relations between<br>continuous objects like a chain of symmetry relations"? Answers to this<br>question varied greatly and now we have homotopy, homology, cohomology,<br>and each with its own special flavors (singular, simplicial,...)<br><br>When I look at a chain of homology groups, I see, on the one hand, an<br>analogy between (continuous spaces and symmetries) and on the other I<br>see an encoding of spaces into algebra (a kind of accounting technique).<br>The formal analogies are functors and the accounting is one way to see<br>a purpose for the analogy.<br></div></div>