<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">I don't suppose that the existence of p-adic completion, via equivalence<br>classes of Cauchy-sequences, helps matters. Such a step moves the graph-<br>theoretic talk back in the direction of space-theoretic talk, along with<br>the arrival of derivatives and a meaningful way of doing calculus. What<br>such a space "looks like" in that completion is beyond me.<br><br>It appears to me that the role of "visualization" in the learning of<br>p-adic-normed spaces is (at least here in these humble beginnings) less<br>for *establishing* new hypotheses via visual intuitions, but rather for<br>*fortifying* knowledge that has been hard-won through more "operational"<br>reasoning. Something akin to *accounting* or *library science*.<br><br>That p-adic norms are rooted in logarithms makes me wonder about how<br>easily they might be deployed in early childhood education, working with<br>a child's *natural* sense of scale [log]. I am also left wondering if<br>there is a meaningful connection to proprioception here, a connection<br>between the logarithmic and the operational, analogous to moving from a<br>local group structure to an underlying Lie algebra [exp].<br><br>Continuing on with these musings just a bit longer than I should, I am<br>imagining factorization in the form of spectra. Choosing a prime p is<br>like choosing a hue of light with which to illuminate an image, the<br>closeness of two values being a closeness in saturation. Illumination<br>orders the image, rendering some aspects indistinguishable and rendering<br>others distinct. There is something "objective" about such a norm that<br>orders by "affinity", that structures space by abundances of a given kind,<br>like tuning an oscilloscope to 440hz and watching your favorite song.<br><br>[log] <a href="https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/">https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/</a><br>[exp] <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map_(Lie_theory)">https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map_(Lie_theory)</a><br></div></div>