<div dir="ltr"><div class="gmail_default" style="font-family:verdana,sans-serif;font-size:small;color:#333333">What follows are mostly speculations:<br><br>It is possible that we do not get to have closed cartesianess (with all<br>of its currying and the rest) and so we do not really get to have *all*<br>possible worlds, perhaps only those that are symmetric monoidal. Still,<br>what then does this mean for us, since we can clearly posit cartesian<br>closed categories (like Set) and reason about them. That is, they are<br>somehow afforded to us like any other fiction, and like other fiction,<br>they play a role in our understanding of ourselves (Tennesse Williams)<br>and our understanding of our worlds (Noether[∫]).<br><br>Glen has me right when he suggests that I am not particularly wed to the<br>idea of a monism; whether it be monotheism, experience, category theory,<br>GUTs, etc... But I do find studying the available monoids to be as<br>fruitful as studying the available groupoids, etc...<br><br>In Lee Smolin's "Three Roads to Quantum Gravity", he conveys (as Hywel<br>often did) a skepticism toward universal acceptance of the law of<br>conservation, suggesting that a world with clean opposites would be a<br>trivial one. This has me thinking about the role duality plays in<br>modern mathematics (Galois theory, say) where we are not interested in<br>invertible maps between categories with different internal structures<br>(fields versus groups, say), rather we look for best approximations to<br>invertible maps (the adjoint functor perspective). It wouldn't surprise<br>me that that despite the successes of Maxwell to pin down E&M as two<br>faces of the same coin, that our quest for magnetic monopoles will<br>continue to be stymied because the duality isn't exact. That where we<br>attempt to reconcile two "kinds" of things, we will find subtly different,<br>yet corresponding algebras.<br><br>I mention some of this because duality (and symmetry more generally)<br>may simply be "afforded" to us and not "reality" for us. Still, the world<br>(and I use the term loosely) may reward those that believe (and act on)<br>such a fiction[Ax]. So then, many programs (it seems to me) rely on<br>being able to "dualize" into a larger space of possibilities/fictions,<br>in order to make sense out of what may be much more constrained. It may<br>very well be the case that the world, for instance, *must* be logically<br>consistent and complete and so can only support first order logics, but<br>assuming not, I would feel compelled to ask whether this world was one<br>that has the axiom of choice or not. My intuition (and preference) is to<br>imagine (as Glen suggests) that the in-principle ends of our questionings<br>do not culminate in a single monastic theory ;)<br><br>At present, I am entertaining Everett's monism, and wondering if all we<br>physically perceive are the moments of decoherence, and that what we<br>experience as particles are little more than the aliasing effects of<br>a wave function shedding its skin.<br><br>[∫] I am reminded of the Maria La Palme Reyes' (et al) observation in<br>their paper "Reference, Kinds and Predicates":<br><br>"The role of counterfactual situations in determining the actual is<br>further exemplified in classical Mechanics. To determine the real<br>trajectory of a body, we use the calculus of variations and compute the<br>Lagrangian of all its possible trajectories, most of which are only<br>logically, not physically, possible. We choose as the real trajectory<br>the one for which the Lagrangian has a minimum (or stationary) value.<br>The possible is essential to describe the real."<br><br>[Ax]. For instance, when chatting with EricS I get the impression that<br>linear classifiers can be unreasonably effective at sorting the bio-<br>chemical world. Despite the improbability of linearly evolving genes,<br>there is clearly a huge benefit in approximating linearity.<br></div></div>